拡張シンメトリカルスケールの定義

先日の記事に引き続いて、数式を使ってシンメトリカルスケールに関することを少し整理してみたいと思います。

設定を整理します。まず、音の集合$T$を

\[
T = \{ C, C^{\#}, D, D^{\#}, E, F, F^{\#}, G, G^{\#}, A, A^{\#}, B \}
\]で定義します。そして、コードやスケールは全て、この$T$の部分集合だと思うことにします。

また、集合$T_{\mathrm{AUG}}$を、4つの要素からなる集合
\[
T_{\mathrm{AUG}} = \{ \{C, E, G^{\#}\}, \{C^{\#}, F, A\}, \{D, F^{\#}, A^{\#}\}, \{D^{\#}, G, B\} \} = \{C_{\mathrm{aug}}, C^{\#}_{\mathrm{aug}}, D_{\mathrm{aug}}, D^{\#}_{\mathrm{aug}} \}
\]と定義し、写像$p_{\mathrm{AUG}} : T \rightarrow T_{\mathrm{AUG}}$を、各音をそれが含まれるグループに送るような写像とします。

この設定のもとで先日は、たとえばチェレプニン音階のように、長3度移調すると構成音が元と全く同じになってしまって、移調が（ある意味では）12回より少ない回数しか実現できないようなものについて、その性質の言い換えを試みていました。



ここで、コードやスケールに対して、少し用語を定義したいと思います。「4回移調が可能」のような言葉遣いだと少し考えにくいので、次のように定義します。

コードないしスケール$X \subset T$が増対称性を持つとは、$X$の全ての要素について、その要素の長3度上の音も$X$の要素になっていることを言う

これは次のように表現しても同じです。

$X \subset T$が増対称性を持つとは、$X$の全ての要素について、それを含む増三和音の構成音はすべて$X$の要素になっていることを言う

先日の言葉遣いで言えば、$T_{\mathrm{AUG}}$のある部分集合の$p_{\mathrm{AUG}}$による逆像になっているということです。

例えば、増三和音は全て増対称性を持ちますし、チェレプニン音階やホールトーンスケールも増対称性を持ちます。また、半音階（12音全て）も増対称性を持つと言えます。


これの類似で、次のような言葉も定義したいと思います。

$X \subset T$が減対称性を持つとは、$X$の全ての要素について、その要素の短3度上の音もまた$X$の要素になっていることを言う

$X \subset T$が全対称性を持つとは、$X$の全ての要素について、その要素の長2度上の音もまた$X$の要素になっていることを言う

$X \subset T$が三全音対称性を持つとは、$X$の全ての要素について、その要素の増4度上の音もまた$X$の要素になっていることを言う

これらは、各要素を含むそれぞれ減7の和音、全音音階、三全音がまた$X$に含まれていることと同値です。


これらの間の関係としては、
\[全対称性を持つ \Rightarrow 増対称性を持つ
\]\[
全対称性を持つ \Rightarrow 三全音対称性を持つ
\]\[
減対称性を持つ \Rightarrow 三全音対称性を持つ
\]が容易に分かります。


これらのなんらかの対称性を持った$T$の部分集合のことを、拡張シンメトリカルスケールと呼ぶことにします。増三和音や減七和音もこの仲間です。


これらの言葉を使って、いろいろな和音やスケールが、拡張シンメトリカルスケールをどのくらい含んでいるか、またはどのくらいそれらに含まれているかについて、以後整理していきたいと思います。