A Child is Born と ネガティブハーモニー

A Child is Born というスタンダードの冒頭のコード進行は

BbM | Ebm/Bb | BbM | Ebm/Bb

となっています。Ebm のところは Ebm6 = Cm7(b5) としてもよいでしょう。
この進行について一つ言えることを記したいと思います。


突然ですが、通常のドミナント進行、たとえば G7→C という進行の音程の関係を全て上下ひっくり返して「ネガティブ側」にうつしてみると、IIm7(b5)→Im となります。

つまり、G7→Cは下の図のような進行ですが：

これの音程の関係を全て上下逆転させれば下のようになります：

ここで、P4は完全四度、M3は長三度、m3は短三度などを表しています。half tone は半音です。

よって、たとえば Dm7(b5)→Cm のような進行は、「ポジティブ側」のドミナント進行に比するようなある種重要な和音進行だと言えます。

Positive-Negative harmony dictionary

ネガティブハーモニーと呼ばれるものが指し示す範囲は色々あると思いますが、その根本として、通常のハーモニーを「ポジティブ側」とみなし、それと対になる「ネガティブ側」を想定する、という構図はどの視点にも共通すると思います。


なので、備忘録的に、両者の間の「翻訳」を辞書のような形でまとめていきたいと思います。ひとまずは簡単に分かる基本的な和音同士の対応と、昨日の記事で述べたメジャースケールの拡張です。



$\begin{array}{l|l}
\mathbf{positive} & \mathbf{negative} \\ \hline \hline
major\ triad & minor\ triad \\ \hline
major\ 7th\ chord & minor\ \flat 6th\ chord \\ \hline
major\ 6th\ chord & minor\ 7th\ chord \\ \hline
7th\ chord & minor\ 6th\ chord \\ \hline
V7 \rightarrow I & IIm7(\flat 5) \rightarrow Im \\ \hline
major\ scale & natural\ minor\ scale \\ \hline
harmonic\ major\ scale & harmonic\ minor\ scale \\ \hline
mixolydian\ \flat 6\ scale & melodic\ minor\ scale \\ \hline
\end{array}$

ハーモニックメジャースケールについて

ハーモニックメジャースケールと（俗に）呼ばれているスケールがあります。Cから始めると下のようなものです。

ここでは実例は挙げませんが、その一つの解釈について述べます。

三つのマイナースケールは、次のような論理で生まれたとよく言われます。

1. はじめに自然的短音階（ナチュラルマイナー）があった
2. 導音（「シ」の音）から主音への解決が、自然的短音階では長二度の動きとなって大変なので、導音が半音上がり、和声的短音階（ハーモニックマイナー）になった
3. 和声的短音階では、「ラ」と「シ」の間に増二度という隔たりがあって歌いにくいので、「ラ」も半音上がり、旋律的短音階（メロディックマイナー）になった

三つのスケールを楽譜にすれば下の通りです。

ここで、長調と短調の関係を、いわゆる「ネガティブハーモニー」や「下方倍音列」の考え方のように、音程の関係を上下ひっくり返したものだと捉えてみます。

すなわち、長三和音をなす音程は下から長三度、短三度。一方で短三和音をなす音程は上から長三度、短三度。

元のオーダーとネガティブハーモニーの拡張

突然ですが、次のようなことを考えます。

• 0から11までの12個の数字のみを扱う
• その中で足し算を行う、ただし、足し算の結果が12以上になった場合は、12で割った余りを計算結果とする

つまり、$1+2=3$、$4+7=11$などはそのまま計算し、$5+8$や$8+9+10$など答えが12以上になるものについては、それぞれの和である$13$や$27$を$12$で割った余りの$1$や$3$をここでの計算結果とします。すなわち$5+8=1$、$8+9+10=3$。

これは数学の用語を使えば$\mod 12$の合同式を考える、もしくは剰余群$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$での和を考えるということです。


さて、このとき、元のオーダーと呼ばれるものについて考えます。これは、集合$\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$それぞれの元（集合の要素のこと）に対して、それを何回足すと初めて$0$になるか、を示すものです。

たとえば、$3$という元は、4回足すと$3+3+3+3=0$となって$0$になります（計算結果が12以上になる場合は12で割った余りを考えるのでした）。また、$3$回以下では$0$にはなりません。
このようなとき、$3$のオーダーは$4$である、という風に言います。

同じように、$4$のオーダーは$3$となりますし（$4+4+4=0$）、$6$のオーダーは$2$です。


また、$9$のオーダーについて見てみると、$9+9 = 6$、$9+9+9=3$、$9+9+9+9=0$となって、$9$のオーダーは$4$です。
$5$のオーダーはというとこれはかなり大きく、$12$になります。


ここで一度オーダーを表にまとめておきます。

$\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
元 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline
オーダー & 1 & 12 & 6 & 4 & 3 & 12 & 2 & 12 & 3 & 4 & 6 & 12 \end{array}$



ここまでの話は音高の話に置きかえることができます。すなわち、半音$3$つ分は短三度ですが、$3$のオーダーが$4$であるとはすなわち、短三度を$4$個積み重ねるとちょうどオクターブになるということ（正確には音名が同じ音になるということ）です。
同様に、$4$のオーダーが$3$であるのは、長三度を$3$個積み重ねるとオクターブになることの言い換えですし、$9$のオーダーが$4$であるのは、長六度を$4$個積み重ねると3オクターブになる（音名は同じ）ということです。