ある音列を含むシンメトリカルスケールの簡潔な表記

数式を用いた音の集合の表記の話題です。この記事の続きになります。

少し話を整理します。まず、音全体の集合を$T$とおきました。すなわち、
$$T = \{ C, C^{\#}, D, D^{\#}, E, F, F^{\#}, G, G^{\#}, A, A^{\#}, B \}$$ です。

また、$T$の要素を、「長三度離れている音どうしは同じグループに属する」というルールで分別したものを$T_{\mathrm{AUG}}$と書いていました：
$$T_{\mathrm{AUG}} = \{ \{C, E, G^{\#}\}, \{C^{\#}, F, A\}, \{D, F^{\#}, A^{\#}\}, \{D^{\#}, G, B\} \}$$ これは4つの要素からなる集合です。

そして、$T$から$T_{\mathrm{AUG}}$へ、自然な写像$p_{\mathrm{AUG}}$を定義しました。これは、「音に対して、その音を含むグループを対応させる写像」です。


さて、ここでは次のような問題を考えます。

あるコードが与えられたとき、そのコードを含む最も小さいシンメトリカルスケールは何か？

ここで、最も小さいというのは、そのコードを含むためには必要がないような余分なものが入っていないということです。あるコードをすっぽり含むスケールのことを広く「アベイラブルスケール」と呼ぶならば、上の問題はおおざっぱにいうと

あるコードが与えられたとき、そのコードのアベイラブル・シンメトリカル・スケールの中で最もそのコードを特徴付けていると言えるものは何か？

とも言い換えられます。


さて、この記事で述べたように、あるスケールないし和音が「オーグメント的な」対称性を持っていることは、ある$T_{\mathrm{AUG}}$の部分集合の、$p_{\mathrm{AUG}}$による逆像となっていること、と同値です。

それで少し考えると、上で述べた「そのコードを含む最も小さいシンメトリカルスケール」は、「オーグメント的なもの」の話に絞ると、次のように表記できます：
コード$C \subset T$を含む最も小さい「オーグメント的な」シンメトリカルスケールは、
$$p_{\mathrm{AUG}}^{-1} ( p_{\mathrm{AUG}} ( C ))$$ です。


たとえば、Cメジャー$C_{\mathrm{maj}}$を含む最小のオーグメント的なシンメトリカルスケールは、俗に「Cオーグメントスケール」と呼ばれている以下のスケールです：
$$C_{\mathrm{aug.scale}} = \{C, D^{\#}, E, G, G^{\#}, B\}$$

これはつまり数式で表現すれば、

$$p_{\mathrm{AUG}}^{-1} ( p_{\mathrm{AUG}} ( C_{\mathrm{maj}} )) = C_{\mathrm{aug.scale}} = \{C, D^{\#}, E, G, G^{\#}, B\}$$ ということになります。

同様にメジャーセブンスやマイナー、マイナーメジャーセブンスやセブンス、マイナーセブンスなどについてやってみると、
$$p_{\mathrm{AUG}}^{-1} ( p_{\mathrm{AUG}} ( C_{\mathrm{maj7}} )) = C_{\mathrm{aug.scale}}$$ $$p_{\mathrm{AUG}}^{-1} ( p_{\mathrm{AUG}} ( C_{\mathrm{m}} )) = C_{\mathrm{aug.scale}}$$ $$p_{\mathrm{AUG}}^{-1} ( p_{\mathrm{AUG}} ( C_{\mathrm{mM7}} )) = C_{\mathrm{aug.scale}}$$ $$p_{\mathrm{AUG}}^{-1} ( p_{\mathrm{AUG}} ( C_{\mathrm{7}} )) = D^{\#}_{\mathrm{Tchel}} = \{D^{\#}, E, F^{\#}, G, G^{\#}, A^{\#} B, C, D\}$$ $$p_{\mathrm{AUG}}^{-1} ( p_{\mathrm{AUG}} ( C_{\mathrm{m7}} )) = D^{\#}_{\mathrm{Tchel}}$$ となります。
ただし$D^{\#}_{\mathrm{Tchel}}$は前の記事で述べたチェレプニン音階という名前の9音音階です。

このようにみると、たとえばオーグメント的なシンメトリカルスケールの立場から見ると、Cmaj、Cmaj7、Cm、CmM7 は全て同じですが、C7やCm7だけは違うものになっています。


$\mathrm{AUG}$を$\mathrm{DIM}$など他のものに取り替えればその都度他の種類のシンメトリカルスケールについても同様の話が展開できます。それらをすべて組み合わせれば、最終的に

あるコードが与えられたとき、そのコードを含む最も小さいシンメトリカルスケールは何か？

という問いにある意味で答えられるということになります。